martes, 31 de agosto de 2010

el huevo y la inercia

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¿Qué queremos hacer?

Una experiencia práctica para comprender mejor el principio de la inercia: “todo cuerpo que no esté sometido a fuerza neta mantendrá su estado de movimiento”. 
Material
- Huevo o pelota pesada
- Vaso con agua
- Cartulina
- Canuto de cartón (papel higiénico)
Procedimiento

Se disponen los siguientes elementos apilados (torre); primero un vaso con agua, encima de él una cartulina, luego el canuto de carton, y por ultimo un huevo
Agarramos la cartulina con una mano y le damos un tirón horizontal enérgico y firme.
¿Qué sucede?
El huevo, sano y salvo, cae dentro del vaso con agua.
Explicación 
Normalmente, una persona que no conozca los principios de la Física y no haya visto el experimento antes, pensará que al tirar de la cartulina  tanto el canuto como el huevo salgan disparados. No obstante, esto no es así, ya que la fuerza del golpe no se aplica al huevo. Por lo tanto por el principio de la inercia, el huevo permanecerá inmóvil, y habiendo perdido su sustento caerá al vaso.

La situación justo después del golpe se muestra en la siguiente figura;

La fuerza aplicada sobre la cartulina la acelera hacia la izquierda. Dado que el canuto está en contacto directo con la cartulina, existe cierta fuerza de rozamiento sobre el canuto. Dicha fuerza de rozamiento tiene dos efectos: 
- El canuto en su conjunto se acelera hacia la izquierda, según la segunda ley de Newton aplicada al centro de masas. 
- Como la fuerza de rozamiento se aplica en un extremo, el canuto empieza a rotar al rededor de su centro de masas.
Analicemos los dos movimientos del canuto por separado. Primero, la translación de todo el canuto hace que éste se aparte rápidamente de su posición inicial. Segundo, la rotación provocará que el extremo inferior tienda a levantarse (puede que no llegue a conseguirlo, si la fuerza de rozamiento no es lo suficientemente grande, ya que entonces entra en juego la gravedad), mientras que el extremo superior descenderá. Este es uno de los puntos fundamentales: el extremo superior del canuto, donde reposa el huevo, tiende a descender, no a moverse hacia la izquierda. Dado que el canuto no intenta deslizarse sobre la superficie inferior del huevo, no habrá fuerza de rozamiento entre ambos.
Durante el momento del choque, dado que no hay ninguna fuerza sobre el huevo, según el principio de inercia, este permanecerá inmóvil. Entonces entrará en juego la gravedad, que lo hará descender en caída libre hasta el interior del vaso, donde será frenado por el agua.

Algunos cálculos

Resulta sencillo realizar estimaciones acerca de la fuerza mínima que es necesario aplicar. En el tiempo que dure la caída libre del huevo, deben pasar dos cosas:
- La cartulina debe apartarse completamente del vaso.
- El canuto debe salir de la perpendicular del vaso.
Sea  la longitud del canuto. El tiempo que durará la caída libre será

Supongamos que la fuerza aplicada con nuestra mano tiene un valor constante, F, y que se aplica a lo largo de una distancia d. La conservación de la energía nos da la velocidad que alcanza la cartulina:
\displaystyle v_\text{cart} = \sqrt{\frac{2 F d}{m}}\ .
Sea L la distancia que tiene que recorrer la cartulina para descubrir completamente el vaso (es decir, la distancia entre el borde derecho de la cartulina y el borde izquierdo del vaso). A partir de ese momento, el movimiento de la cartulina será frenado por el rozamiento con el vaso (dado que el canuto tiende a separarse, no lo tendremos en cuenta en este cálculo). Si el coeficiente de fricción cinético entre el vaso y el cartón es \mu. En el tiempo t, el desplazamiento de la cartulina debe ser superior a la distancia L-d, lo que nos da la primera condición:
\displaystyle L-d \le v_\text{cart} t - \frac12 \mu g t^2\ .
Substituyendo todos los datos, tenemos que la fuerza debe cumplir
\displaystyle L-d \le \sqrt{\frac{4F d \ell}{m g}}  - \mu  \ell\ ,
o lo que es lo mismo
\displaystyle \boxed{ F\ge \frac{m g}{4\ell d} \Big(L-d+\mu\ell \Big)^2 \ . }
La segunda condición es mucho más fácil de satisfacer. El canuto sólo ha de desplazarse la distancia equivalente al ancho del vaso para apartarse del camino del huevo. Lo que nos interesa, en este caso, es maximizar la fuerza de rozamiento entre el canuto y la cartulina. Por lo tanto, el rozamiento debe ser estático y estar cerca del límite. En la situación límite, la aceleración del centro de masas del canuto —cuyo valor es \mu' g, donde \mu' es el coeficiente de rozamiento estático en esta situación— será la misma que la de la cartulina — que a su vez será F/m. Por lo tanto, la fuerza óptima será
\displaystyle F \lesssim \mu' m g\ .
Para que esta fuerza sea válida, debe cumplir también la anterior condición. Esto nos permite poner una cota inferior al coeficiente de fricción entre el canuto y la cartulina, a saber
\boxed{ \mu' \ge \frac{1}{4\ell d} \Big(L-d+\mu\ell \Big)^2\ .}